# 集合

# 概念与符号表示

• 集合：$A, B, C$
• 元素：$a, b, c$
• 空集：$\varnothing$
• 元素与集合的关系：$\in, \not\in$
• 集合之间的关系：
  • 子集和超集：$\subseteq, \supseteq$
  • 真子集和真超集：$\subsetneqq, \supsetneqq$ 或简写 $\subsetneq, \supsetneq$
  • $\subset$（子集或真子集），$\supset$（超集或真超集）
• 集合运算：
  • 并集：$\cup$
  • 交集：$\cap$

# 定理 1

两个集合 $A, B$ 相等的充要条件：

$$A = B \Leftrightarrow A \subset B, B \subset A$$

# 定义 1 - 集合的积

我们称

$$A_1 \times A_2 \times ... \times A_n = \{(a_1, a_2, ..., a_n) | a_i \in A_i\}$$

为 $n$ 个集合 $A_1, A_2, ..., A_n$ 的积（或笛卡尔积）。

# 定理 2

一般地，如果 $|A| = m, |B| = n$，那么$|A \times B| = mn$。

# 习题

1. 设 $B \subset A$，但 $B$ 不是 $A$ 的真子集，这种情况什么情形下出现？

   当 $A = B$ 时。

2. 设 $A \subset B$，则 $A \cap B =$ $A$，$A \cup B =$ $B$

# 映射

# 定义 1 - 映射

设 $\phi$ 是从笛卡尔积 $A_1 \times A_2 \times ... \times A_n$ 到集合 $D$ 的一个法则，如果 $A_1 \times A_2 \times ... \times A_n$ 中的每一个元素 $(a_1, a_2, ..., a_n)$ 都有 $D$ 中唯一的元素 $d$ 与之对应，那么则称 $\phi$ 是从 $A_1 \times A_2 \times ... \times A_n$ 到 $D$ 的一个映射。

# 定义 2 - 传统定义

设 $\phi$ 是从集合 $A$ 到集合 $D$ 的一个法则，如果 $A$ 中的每一个元素 $a$ 都有 $D$ 中唯一的元素 $d$ 与之对应，那么则称 $\phi$ 是 $A$ 到 $D$ 的一个映射。

定义 1 和定义 2 可以互相推导，两者是等价的。

推导：

1. 定义 1 中，当 $n=1$ 时，推导出定义 2。
2. 定义 2 中的集合 $A$，可以看成是 $A_1 \times A_2 \times ... \times A_n$ 的笛卡尔积结果，笛卡尔积的结果也是一个集合，则可推导出定义 1。

# 例子

• 例 1 设 $A_1 = A_2 = ... = A_n = D = \mathbb{R}$，则

  $$\phi(a_1, a_2, ..., a_n) = a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2$$

  是 $A_1 \times A_2 \times ... \times A_n$ 到 $D$ 的映射。$\phi$ 实际上就是一个多元函数。

• 例 2 设 $A_1 = \{东，西\}, A_2 = \{南\}, D = \{高, 低\}$，则

  $$\phi_1(西, 南) = 高$$

  不是 $A_1 \times A_2$ 到 $D$ 的映射。而

  $$\phi_2(西, 南) = 高, \phi_2(东, 南) = 低$$

  是 $A_1 \times A_2$ 到 $D$ 的映射。

• 例 3 设 $A_1 = D = \mathbb{R}$，则

  $$\phi(a) = 1, a \neq 1$$

  $$\phi(1) = b, b^2 = 1$$

  不是 $A_1$ 到 $D$ 的映射。因为像必须要唯一，而 $\phi(1) = 1$ 或 $\phi(1) = -1$。

• 例 4 设 $A_1 = D = \mathbb{Z}_+$，则

  $$\phi(a) = a - 1$$

  不是 $A_1$ 到 $D$ 的映射。因为当 $a = 1$ 时，对应的像为 $0$，但这个像 $0$ 不在 $\mathbb{Z}_+$ 中。

# 定义 3 - 映射相等

设 $\phi_1, \phi_2$ 都是从笛卡尔积 $A_1 \times A_2 \times ... \times A_n$ 到集合 $D$ 的映射，如果对于 $A_1 \times A_2 \times ... \times A_n$ 中的每个元素 $(a_1, a_2, ..., a_n)$，都有

$$\phi_1(a_1, a_2, ..., a_n) = \phi_2(a_1, a_2, ..., a_n)$$

则称这两个映射 $\phi_1, \phi_2$ 相等。

注：两个映射相等的要求：

1. 定义域相等；
2. 作用效果相同。

# 例子

• 例 5 设 $A = D$ 都表示正整数的集合，$\phi_1: A \rightarrow D$ 定义为：$\phi_1(a) = 1, \phi_2: A \rightarrow D$ 定义为：$\phi_2(a) = a^0$，则 $\phi_1 = \phi_2$.

# 习题

• 例 6 设 $A = \{ 1, 2, 3, ..., 100 \}$，找一个 $A \times A \rightarrow A$ 的映射。

# 代数运算

# 结合律、交换律

# 消去律

# 分配律

# 映射与变换

# 同态

# 同构与自同构

# 等价关系与集合的分类